空間図形・ベクトルが一瞬で解ける「外積」の破壊力

空間図形の問題が出た瞬間、「あ、これ時間かかるやつだ」と諦めていませんか？

法線ベクトルを求めるとき、連立方程式を何分もかけて解いていませんか？

結論から言えば、難関大の合格者はそんな面倒なことはしていません。彼らは「外積」という背景知識を使い、空間ベクトルの問題を一瞬で作業に変えているのです。

このページでは、その「外積」の威力をサンプルとして無料公開します。まずは自分の目で、通常解法との差を体感してください。

ゴリラのひと言外積を知らない受験生は、それだけで大きなハンデを背負っている。

1.外積と平面の方程式

難易度 ★★☆☆☆（MARCH・関関同立以上）

重要度 ★★★★☆

例題 1

PROBLEM

空間内に3点、、がある。
原点から三角形を含む平面へ下ろした垂線の足をとするとき、の座標を求めよ。

解答①　通常の解法

は平面上にあるから、実数を用いて

平面より

①②を解いて、よって

H(2/3, 1/3, 1/3)

数学的背景知識　外積とは

外積の意味

ベクトルの掛け算には2種類ある。

内積　　→　結果は数（スカラー）
外積　　→　結果はベクトル

外積の核心：
はにもにも垂直なベクトルになる。
平面上の2本のベクトルを外積すれば、その平面の法線ベクトルが一発で出る。

外積は平面を垂直に貫く法線ベクトルになる

外積の計算式

覚え方：縦に並べてたすき掛け（循環ルール）

求めたい成分の行をバツで消し、その下の2行（足りなければ 1→2→3→1… と循環）でたすき掛けをする。
右斜め下が＋（青）、左斜め下が－（赤）。3成分すべて同じルール。（右斜め下の積）－（左斜め下の積）　（青）－（赤）

第1成分（x）― 1行目を消す

a₂b₃ − a₃b₂

第2成分（y）― 2行目を消す

a₃b₁ − a₁b₃

第3成分（z）― 3行目を消す

a₁b₂ − a₂b₁

ルールは1つ： 求めたい行をバツで消して、次の2行でたすき掛け。右斜め下が＋、左斜め下が－。（右斜め下の積）－（左斜め下の積）循環するので第2・第3成分も同じ向きで統一。

具体的に計算してみる（例題より）

第1成分：

第2成分：

第3成分：

検算方法（外積の結果の確認）

外積の結果が正しいかどうかは、元のベクトルとの内積を取ればすぐに確認できる。
例：について

どちらも内積がゼロになるため、求めたベクトルがとの両方に垂直であることが確認できる。

平面の方程式を出す手順

1

、など、平面上の2本のベクトルを求める

2

外積を計算 → 法線ベクトルが得られる（は平面に垂直）

3

平面上の任意の点 Q を考える。は平面内のベクトルなのでと垂直。
つまり

4

具体的に展開する。、A = (1, 0, 0)、Q = (x, y, z) とすると：
これが平面 ABC の方程式。

ポイント： は平面と垂直。平面上のどのベクトルもと垂直 → 内積 = 0。
A は平面上の点ならどれでも可（A, B, C どれでもよい）。

解答②　外積を使った解法

法線ベクトル（倍して整理）。点を通る平面の方程式：

は法線方向なので、つまりを①に代入：

H(2/3, 1/3, 1/3)

比較

	通常の解法	外積を使う
法線ベクトル	手に入らない	一発で出る
平面の方程式	立てられない	1行で立てられる
連立方程式	2本を解く必要あり	不要
計算ミスのリスク	s, t の管理が煩雑	手順が機械的で安定

外積を知っているだけで、「考える問題」が「作業問題」に変わる。
試験本番の脳みそのキャパは有限。外積を使えるかどうかで、残りの問題に使えるエネルギーが大きく変わる。

補足

外積の計算に慣れないうちは、「たすき掛けを覚えるのが面倒」「普通に内積で解いたほうが早い」と感じる人もいるかもしれない。それは自然なことだ。

しかし問題をこなしていくうちに、外積の計算は完全に機械的な作業になる。そうなると、法線ベクトルを一瞬で出して平面の方程式を立てるまでの流れが、考えなくても手が動くレベルになる。

外積は「知っている人だけが使える高速道路」だ。
最初は慣れない道に感じても、使い続けることで圧倒的な差になる。まず1問、外積を使って解いてみることから始めよう。

類題１

PROBLEM

空間内に3点、、がある。
原点から平面に下ろした垂線の足をとするとき、の座標を外積を用いて求めよ。

類題１の解答（外積使用）

【方針】 外積で法線ベクトルを求め、垂線の足をパラメータで表して平面の方程式に代入する。

法線ベクトルとして（共通因数2で約分）をとる。

点を通る平面の方程式は

は法線方向なのでとおき、平面の方程式に代入：

H(72/61, 48/61, 36/61)

※ 検算：などで垂直を確認できる。

ここまで読んで、「なんだ、外積って簡単じゃないか」と思ったかもしれない。

そう、知ってしまえば簡単なのだ。しかし、この外積を学校の授業で体系的に教わることは、まずない。塾でも「難関大コース」でしか触れられない知識である。

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